Question

已知幂函数f（x）=x^{（2-k）（1+k）}（k∈Z）在（0，+∞）上递增．
（1）求实数k的值，并写出相应的函数f（x）的解析式；
（2）对于（1）中的函数f（x），方程f（x）-mx+2m-1=0有两相异的正实根，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）通过幂函数f（x）=x^{（2-k）（1+k）}在（0，+∞）上递增，推出指数是负数，再根据k∈Z，然后求出m的值即可．
（2）先f（x）-mx+2m-1=0，即x²-1=m（x-2），分别画出函数y=x²-1和y=m（x-2），根据图象可直接得出答案．

解答：解：（1）因为幂函数f（x）=x^{（2-k）（1+k）}（k∈Z）在（0，+∞）上递增，
所以幂指数是负数，
∴（2-k）（1+k）＜0，∴-1＜k＜2，又k∈Z，
∴k=0或k=1，
∴函数f（x）的解析式f（x）=x²，
（2）据题意，f（x）-mx+2m-1=0即x²-mx+2m-1=0，
即x²-1=m（x-2），
分别画出函数y=x²-1和y=m（x-2），
由图可知，当

1

2

＜m＜4-2

3

时，
函数y=x²-1和y=m（x-2）的图象在x右侧有两个不同的交点．
故实数m的取值范围为：

1

2

＜m＜4-2

3

．

点评：本题考查幂函数的基本性质，幂函数的单调性，考查数形结合思想的应用．