Question

若函数f（x）=x²+（a+2）x+3，x∈[a，b]，且满足f（x-1）=f（1+x），则a=________，b=________．

Answer 1

-4    6
分析：由已知等式f（1-x）=f（1+x），根据函数图象的对称性，我们可得函数f（x）的图象关于直线 x=1对称，由此可求出a值，再由函数恒满足等式f（1-x）=f（1+x），
则区间[a，b]也关于直线 x=1对称对称，由此求出b的值，即可得到答案．
解答：∵函数f（x）满足f（x+1）=f（x-1），故有 f（x+2）=f（x），
故函数f（x）的图象关于直线 x=1对称，又∵函数f（x）=x²+（a+2）x+3，
∴-=1，∴a=-4．
又∵x∈[a，b]，故区间[a，b]也关于直线 x=1对称，由此求得b=6，
故答案为：-4，6．
点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，函数图象的对称性，其中根据已知中函数f（x）恒满足等式f（1-x）=f（1+x），得到函数f（x）的图象关于直线 x=1对称，是解答本题的关键，另外根据函数的解析式以及函数图象关于直线 x=1对称对称，是进一步求出b值的关键，属于基础题．