Question

函数f（x）=|x²-a|在区间[-1，1]上的最大值M（a）的最小值是（　　）

A． 1 4

B． 1 2

C．1

D．2

Answer 1

由题意可得函数f（x）为偶函数，因此讨论M（a）的值域只需在x∈[0，1]这一范围内进行；    1＞当0＜a＜1时，则
当a≤0时，函数f（x）在[0，1]单调递增，M（a）=f（1）=|1-a|=1-a≥1
当a＞0时，函数f（x）在[0，

a

]上单调递减，在[

a

，1]上单调递增
所以f（x）在[0，

a

]内的最大值为f（0）=a，而f（x）在[

a

，1]上的最大值为f（1）=1-a，
由f（1）＞f（0）得1-a＞a，即0＜a＜

1

2

当a∈（0，

1

2

）时，M（a）=f（1）=1-a，
同理，当a∈[

1

2

，1）时，M（a）=f（0）=a
当a≥1时，函数在[0，1]上为减函数，所以M（a）=f（0）=a
 当a≤0时，f（x）=|x²-a|=x²-a，在[0，1]上为增函数，所以M（a）=f（1）=1-a
综上，M（a）=1-a，a＜

1

2

；   M（a）=a，a≥

1

2

，
所以M（a）在[0，

1

2

]上为减函数且在[

1

2

，1]为增函数
综上易得M（a）的最小值为M（

1

2

）=

1

2

故选B