Question

已知数列{a_n}的前n项和是s_n=n²-2n+2，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=a_nxⁿ（x∈R且x≠0）．求数列{b_n}前n项和的公式．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用“当n=1时，a₁=S₁；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1即可得出a_n；
（2）对x=1和x≠1分类讨论，及利用“错位相减法”和等比数列的前n项和公式即可得出．
解答：解：（1）当n=1时，a₁=S₁=1-2+2=1；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²-2n+2-[（n-1）²-2（n-1）+2]
=2n-3．
∴．
（2）设数列{b_n}前n项和为T_n．
b₁=x，
n≥2时，．
∴当n=1时，T₁=b₁=x；
当n≥2时，T_n=x+x²+3x³+…+（2n-3）xⁿ，
+…+（2n-5）xⁿ+（2n-3）xⁿ⁺¹
∴（1-x）T_n=x+2x³+2x⁴+…+2xⁿ-（2n-3）xⁿ⁺¹
①x≠1，T_n=．
②当x=1时，T₁=1，
n≥2时，T_n=1+1+3+…+（2n-3）=1+（n-1）²=n²-2n+2．
点评：熟练掌握“当n=1时，a₁=S₁；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1即可得出a_n”、分类讨论、“错位相减法”和等比数列的前n项和公式等是解题的关键．