Question

20．已知下列六个命题，其中真命题的序号是①④⑥．
①若一个圆锥的底面半径缩小到原来的$\frac{1}{2}$，其体积缩小到原来的$\frac{1}{4}$；
②若两组数据的中位数相等，则它们的平均数也相等；
③“10^a≥10^b”是“lga≥lgb”的充分不必要条件；
④过M（2，0）的直线l与椭圆$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$交于P₁，P₂两点，线段P₁P₂中点为P，设直线l的斜率为k₁（k₁≠0），直线OP的斜率为k₂，则k₁k₂等于-$\frac{1}{2}$；
⑤为了了解800名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k为40；
⑥线性回归直线方程$\hat y=\hat bx+\hat a$恒过样本中心$（\bar x，\bar y）$．

Answer 1

分析 根据圆锥的体积公式，求出变换后圆锥的体积与原体积的关系，可判断①；根据中位数与平均数的关系，可判断②；根据充要条件的定义，可判断③；设点，代入椭圆方程，利用点差法，结合线段P₁P₂的中点为P，即可得到结论，可判断④．由系统抽样间隔号的求法求出间隔号判断⑤；由线性回归直线方程的性质即可判断⑥．

解答 解：对于①，若一个圆锥的底面半径缩小到原来的$\frac{1}{2}$，其底面积缩小到原来的$\frac{1}{4}$，由于高不变，其体积缩小到原来的，故正确；
对于②，若两组数据的中位数相等，则它们的平均数不一定相等，故错误；
对于③，“10^a≥10^b”?“a≥b”，“lga≥lgb”?“a≥b≥0”，故“10^a≥10^b”是“lga≥lgb”的必要不充分条件，故错误；
对于④设P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P（x，y），则x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，x₁²+2y₁²=2，x₂²+2y₂²=2，两式相减可得：（x₁-x₂）×2x+2（y₁-y₂）×2y=0，
∵直线l的斜率为k₁（k₁≠0），直线OP（O是原点）的斜率为k₂，∴k₁k₂=-$\frac{1}{2}$，故正确；
对于⑤，总体容量N=800，样本容量n=40，则用系统抽样的分段的间隔k=$\frac{800}{40}$=20，故错误；
对于⑥，线性回归直线方程$\hat y=\hat bx+\hat a$恒过样本中心$（\bar x，\bar y）$．故正确；
故答案为：①④⑥

点评 本题以命题的真假判断为载体，考查了圆锥的体积，中位数和平均数，充要条件，回归直线与方程的特点，属于中档题．