Question

如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB边所在直线的方程为x-3y-6=0，点T（-1，1）在AD边所在直线上，
（Ⅰ）求AD边所在直线的方程；
（Ⅱ）求矩形ABCD外接圆的方程；
（Ⅲ）若动圆P过点N（-2，0），且与矩形ABCD的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程。

Answer 1

解：（Ⅰ）因为AB边所在直线的方程为x-3y-6=0，且AD与AB垂直，
所以直线AD的斜率为-3，
又因为点T（-1，1）在直线AD上，
所以AD边所在的直线的方程为y-1=-3（x+1），即3x+y+2=0。
（Ⅱ）由，解得点A的坐标为（0，-2），
因为矩形ABCD两条对角线的交点为M（2，0），
所以M为矩形ABCD外接圆的圆心，
又，
从而矩形ABCD外接圆的方程为。
（Ⅲ）因为动圆P过点N，所以|PN|是该圆的半径，
又因为动圆P与圆M外切，
所以，，
即，
故点P的轨迹是以M，N为焦点，实轴长为2的双曲线的左支。
因为实半轴长a=，半焦距c=2，
所以虚半轴长，
从而动圆P的圆心的轨迹方程为。