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    如图所示，在直三棱柱ABC-中，，D为棱的中点.

    （I）证明：平面；

    （II）求三棱锥A-的体积；

    （III）在棱AB上是否存在一点E，使DE// 平面？证明你的结论.

    解证：（I）

    ∵三棱柱ABC-为直三棱柱，∴

    ∵

    平面

    ∵，则

    ∵

    ∵四边形为正方形

    ∴

    ∵

    （Ⅱ）∵

    又为三棱锥的高且

    （Ⅲ）当点E为棱AB的中点时，DE//平面

    证明如下：

    如图取的中点F，连EF，FD，DE

    ∵D，E，F分别为的中点；

    ∴EF//

    ∵

    ∴EF//平面

    同理可证FD//平面  

    ∵    ∴平面EFD//平面  

    ∵DE平面EFD  ∴DE//

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    如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，AA1=AC=BC=2，D、E、F分别是AB、AA1、CC1的中点，P是CD上的点．
    （1）求直线PE与平面ABC所成角的正切值的最大值；
    （2）求证：直线PE∥平面A1BF；
    （3）求直线PE与平面A1BF的距离．

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    如图所示，在直三棱柱ABC-A′B′C′中，∠BAC=90°，AB=BB′=1，直线B′C与平面ABC成30°角．
    （1）求证：A′B⊥面AB′C；
    （2）求二面角B-B′C-A的正弦值．

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    如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC=2a，BB1=3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF=
    a或2a
    a或2a
    时，CF⊥平面B1DF．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BB1，AC1⊥平面A1BD，D为AC的中点．
    （Ⅰ）求证：B1C1⊥平面ABB1A1；
    （Ⅱ）设E是CC1的中点，试求出A1E与平面A1BD所成角的正弦值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BB1=BC，AC1⊥平面A1BD，D为AC的中点．
    （1）求证：B1C∥平面A1BD；
    （2）求证：B1C1⊥平面ABB1A1；
    （3）在CC1上是否存在一点E，使得∠BA1E=45°，若存在，试确定E的位置，并判断平面A1BD与平面BDE是否垂直？若不存在，请说明理由．

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