Question

设O点为坐标原点，曲线x²+y²+2x-6y+1=0上有两点P,Q，满足关于直线x+my+4=0对称，又满足·=0.

（1）求m的值；

（2）求直线PQ的方程.

Answer 1

解:（1）曲线方程为(x+1)²+(y-3)²=9，表示圆心为（-1，3），半径为3的圆.

∵点P,Q在圆上且关于直线x+my+4=0对称,∴圆心（-1，3）在直线上，代入直线方程得m=-1.

（2）∵直线PQ与直线y=x+4垂直，

∴设P(x₁,y₁），Q（x₂,y₂)，PQ方程y=-x+b.将直线y=-x+b代入圆方程,得2x²+2(4-b)x+b²-6b+1=0.

Δ=4(4-b)²-4×2×(b²-6b+1)＞0，得2-3＜b＜2+3.

由韦达定理得x₁+x₂=-(4-b),x₁·x₂=.

y₁·y₂=b²-b(x₁+x₂)+x₁·x₂=+4b.∵·=0,

∴x₁x₂+y₁y₂=0,即b²-6b+1+4b=0.解得b=1∈(2-3,2+3).

∴所求的直线方程为y=-x+1.