Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足：S_n=a（S_n-a_n+1）（a为常数，且a≠0，a≠1）．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设，若数列{b_n}为等比数列，求a的值；
（3）在满足条件（2）的情形下，设c_n=4a_n+1，数列{c_n}的前n项和为T_n，若不等式对任意的n∈N^*恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）当n=1时，S₁=a（S₁-a₁+1），得a₁=1．当n≥2时，由（1-a）S_n=-aa_n+a，得，（1-a）S_n-1=-aa_n-1+a．故a_n=aa_n-1，由此能求出{a_n}的通项公式．
（2）由，若数列{b_n}为等比数列，则有，而，故[a³（2a+1）]²=（2a²）•a⁴（2a²+a+1），由此能求出a的值．
（3）由，知，故，所以，由不等式恒成立，得恒成立，由此能求出实数k的取值范围．
解答：解：（1）当n=1时，S₁=a（S₁-a₁+1），得a₁=1．
当n≥2时，由S_n=a（S_n-a_n+1），
即（1-a）S_n=-aa_n+a，①
得，（1-a）S_n-1=-aa_n-1+a，②
①-②，得（1-a）a_n=-aa_n+aa_n-1，
即a_n=aa_n-1，
∴，
∴{a_n}是等比数列，且公比是a，
∴．
（2）由（1）知，，
即，
若数列{b_n}为等比数列，
则有，
而，
故[a³（2a+1）]²=（2a²）•a⁴（2a²+a+1），
解得，
再将代入b_n，得，
由，知{b_n}为等比数列，
∴．
（3）由，知，
∴，
∴，
由不等式恒成立，
得恒成立，
设，由，
∴当n≤4时，d_n+1＞d_n，当n≥4时，d_n+1＜d_n，
而，
∴d₄＜d₅，
∴，
∴．
点评：本题考查数列与不等式的综合，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．