Question

双曲线

x2

a2

-

y2

4

=1的左、右焦点分别为F₁、F₂，P是双曲线上一点，PF₁的中点在y轴上，线段PF₂的长为

4

3

，则该双曲线的离心率为（　　）

• A．

  3

  2

• B．

  13

  2

• C．

  13

  3

• D．

  13

  3

Answer 1

分析：根据题意，得OQ是△PF₁F₂的中位线，得PF₂⊥F₁F₂，Rt△PF₁F₂中算出|PF₁|=

4

3

+2a，|F₁F₂|=2c=2

a2+4

，利用勾股定理列出关于a的方程，解出a=3，从而c=

a2+4

=

13

，得到双曲线的离心率．

解答：解：∵PF₁的中点Q在y轴上，O为F₁F₂的中点
∴OQ是△PF₁F₂的中位线，得OQ∥PF₂，
由此可得PF₂⊥F₁F₂，
根据双曲线的定义，得|PF₁|=|PF₂|+2a=

4

3

+2a，
而|F₁F₂|=2c=2

a2+4

∴Rt△PF₁F₂中，|PF₂|²+|F₁F₂|²=|PF₁|²，
即

16

9

+4（a²+4）=（

4

3

+2a）²，解之得a=3
∴c=

a2+4

=

13

，得双曲线的离心率e=

c

a

=

13

3

故选：D

点评：本题给出双曲线一条焦半径的中点恰好在y轴上，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程、基本概念和简单几何性质等知识，属于中档题．