Question

设f（x）=x-4tanx+2，x∈[-1，1]，则关于a的不等式f（a²-1）+f（1-a）＞4的解集为

{a|0＜a＜1}

．

Answer 1

分析：令h（x）=x-4tanx，x∈[-1，1]，不等式可化为 h（a²-1）+h（1-a）＞0．再由由h（x）=x-4tanx 是奇函数，定义域为[-1，1]，不等式进一步化为 h（a²-1）＞h（a-1）．
解不等式组

a2-1 ＜a-1 -1≤ a2-1≤1 -1≤a-1≤1

求得a的范围，即为所求．

解答：解：令h（x）=x-4tanx，x∈[-1，1]，则 f（x）=h（x）+2，关于a的不等式f（a²-1）+f（1-a）＞4 即 h（a²-1）+2+h（1-a）+2＞4，
即  h（a²-1）+h（1-a）＞0．
再由h（x）=x-4tanx 是奇函数，定义域为[-1，1]，可得不等式即 h（a²-1）＞-h（1-a）=h（a-1），即  h（a²-1）＞h（a-1）．
∴

a2-1 ＜a-1 -1≤ a2-1≤1 -1≤a-1≤1

．
解得 0＜a＜1，故不等式的解集为 {a|0＜a＜1}，
故答案为 {a|0＜a＜1}．

点评：本题主要考查函数的奇偶性、定义域的应用，一元二次不等式的解法，体现了化归与转化的数学思想，属于中档题．