Question

已知数列｛a_n｝满足(n-1)a_n+1=(n+1)(a_n-1)且a₂=6,设b_n=a_n+n(n∈N^*).

(1)求{b_n}的通项公式；

(2)求(+++…+)的值.

Answer 1

解:(1)n=1时，由(n-1)a_n+1=(n+1)(a_n-1),得a₁=1.

    n=2时，a₂=6代入得a₃=15.

    同理,a₄=28,再代入b_n=a_n+n,有b₁=2,b₂=8,b₃=18,b₄=32,由此猜想b_n=2n².

    要证b_n=2n²,只需证a_n=2n²-n.

    ①当n=1时，a₁=2×1²-1=1成立.

    ②假设当n=k时，a_k=2k²-k成立.

    那么当n=k+1时，由(k-1)a_k+1=(k+1)(a_k-1),得a_k+1=(a_k-1)

    =(2k²-k-1)=(2k+1)(k-1)

    =(k+1)(2k+1)=2(k+1)²-(k+1).

    ∴当n=k+1时，a_n=2n²-n正确，从而b_n=2n².

    (2)(++…+)=(++…+)

    =［++…+］

    =［1-+-+…+-］

    =［1+--］

    =.