Question

如图,正三棱柱ABC—A₁B₁C₁的各棱长都等于2,D在AC₁上,F为BB₁中点,且FD⊥AC₁.

(1)试求的值;

(2)求二面角F-AC₁-C的大小;

(3)求点C₁到平面AFC的距离.

Answer 1

解法一:(1)连结AF、FC₁,∵三棱柱ABC—A₁B₁C₁是正三棱柱且各棱长都等于2,又F为BB₁中点,∴Rt△ABF≌Rt△C₁B₁F.

∴AF=FC₁.

又在△AFC₁中,FD⊥AC₁,

∴D为AC₁的中点,即=1.                                            

(2)取AC的中点E,连结BE及DE,易得DE与FB平行且相等,

∴四边形DEBF是平行四边形.

∴FD与BE平行.

∵三棱柱ABC—A₁B₁C₁是正三棱柱,

∴△ABC是正三角形.

∴BE⊥AC.∴FD⊥AC.

又∵FD⊥AC₁,∴FD⊥平面ACC₁.

∴二面角FAC₁C的大小为90°.

(3)运用等积法求解,AC=2,AF=CF=,可求S_△ACF=2,

==××2=,==S_△ACF×h,求得h=.

解法二:取BC的中点O,建立如图所示的空间直角坐标系.

由已知得A(0,0,)、B(1,0,0),C(-1,0,0),B₁(1,2,0),C₁(-1,2,0),F(1,1,0).

(1)设=λ,

则D(-,,),=(,,),=(-1,2,-).

∵⊥,∴·=0,即-1×+2×+(-)×=0.

解得λ=1,即=1.                                                  

(2)设平面FAC₁的一个法向量为n₁=(x₁,y₁,1),∵=(1,1,),由n₁⊥,得x₁+y₁-=0;又由n₁⊥,得-x₁+2y₁-=0.

∴∴n₁=(,,1).

仿上可得平面ACC₁的一个法向量为n₂=(-,0,1).                     

∵n₁·n₂=-×+0×+1×1=0,

∴n₁⊥n₂.

故二面角F-AC₁-C的大小为90°.                                    

(3)设平面AFC的一个法向量为n=(x,y,1),由n⊥,得x+y-=0.又=(-1,0,-),由n⊥,得-x-=0.

解得

∴n=(-,2,1).

∴C₁到平面AFC的距离为d===.