Question

已知双曲线的中心在原点，焦点F，F在X轴上，离心率为，且过点（4，-）。

   （1）求双曲线方程

   （2）若点M（3，m）在双曲线上，求证MF⊥MF。

Answer 1

解：（1）因为双曲线的中心在原点，焦点F，F在X轴上，可设双曲线为－

∵离心率为，且过点（4，-）

∴-------------------①      

－-----------------②       

-----------------③   

由①②③解之得：  

故双曲线方程为：－       

（2）∵点M（3，m）在双曲线上

∴－                  

解之得m=，即M（3，或（3，－

(i)当M（3，时，设（－，0），（，0）

∴，=

∴.=-1                                     

∴MF⊥MF                      

(ii)当M（3，-时，设（－，0），（，0）

同理可得：.=-1                           

   ∴ MF⊥MF                       

综合（i）(ii)可知：MF⊥MF