Question

已知数列{a_n}的前三项与数列{b_n}的前三项对应相同，且{a_n}对一切正整数n满足，数列{b_n+1-b_n}是等差数列.

(Ⅰ)求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；

(Ⅱ)若k≥4，是否存在k∈N₊，使得b_k=a_k?若存在，求出所有的k，并证明你的结论；若不存在，说明理由.

Answer 1

解：(Ⅰ)   ①

n≥2时,  ②

①-②得,a_n=2ⁿ,在①中令n=1,可得a₁=2,

所以a_n=2ⁿ,(n∈N*).  (4分)

由题意b₁=2,b₂=4,b₃=8,所以b₂-b₁=2,b₃-b₂=4,

∴数列{b_n-1-b_n}是公差为2,首项为2的等差数列

∴b_n+1-b_n=2n,  (6分)

b_n=b₁+(b₂-b₁)+(b₃-b₂)+…+(b_n-b_n-1)=n²-n+2(n∈N^*).

(Ⅱ)猜想：当n≥4时,a_n＞b_n

下面证明之：

(i)当n=4时,显然a₄＞b₄,

(ii)设n=k(k≥4)时,a_k＞b_k成立,

当n=k+1时,a_k+1=2^k+1=2×2^k＞2(k²-k+2)

=[(k+1)²-(k+1)+2]+k(k-1)

＞(k+1)²-(k+1)+2=b_k+1 

由(i)(ii)对一切n≥4,n∈N^*,都有a_n＞b_n

∴不存在k∈N^*且k≥4,使a_k=b_k成立.