Question

已知f(x)=

2x

4x+1

，x∈（0，1）；
（Ⅰ）试判断并证明f（x）的单调性；
（Ⅱ）若方程f（x）+f（-x）=λ有实数根，求λ的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）用单调性定义判定并证明f（x）是减函数；
（Ⅱ）由f（x）的单调性与奇偶性，把方程f（x）+f（-x）=λ转化为不等式，从而求出λ的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）f（x）是定义域上的减函数，证明如下：
设0＜x₁＜x₂＜1，
则f(

x

1

)-f(

x

2

)=

2x1

4x2+1

-

2x2

4x2+1

=

2x1(4x2+1)-2x2(4x1+1)

(4x2+1)(4x2+1)

=

(2x1+x2-1)(2x2-2x1)

(4x2+1)(4x2+1)

；
∵2x1+x2＞1，2x2＜2x1∴f(x1)＜f(x2)；
∴f（x）是减函数．
（Ⅱ）∵f（x）在x∈（0，1）上单调递减，
∴f（1）＜f（x）＜f（0），
即 

2

5

＜f(x)＜

1

2

；
∵f（-x）=

2-x

4-x+1

=

2x

4x+1

=f(x)，
∴λ=f（x）+f（-x）=2f（x），
∴即当x∈（0，1）时，

4

5

＜λ＜1；
∴λ的取值范围是{λ|

4

5

＜λ＜1}．

点评：本题考查了函数的单调性与奇偶性的判定和应用问题，是易错题目．