Question

过抛物线y²=2px的焦点F作倾斜角为θ的直线,交抛物线于A、B两点,求|AB|的最小值.

Answer 1

解法一:(1)若θ=,此时|AB|=2p.

(2)若θ≠,

∵有两个交点,∴θ≠0.

设AB:y=k(x-),代入抛物线方程化为k²x²-(k²p+2p)x+=0.

∴x₁+x₂=,x₁x₂=,

|AB|==2p·=2p(1+)＞2p.

∴|AB|_min=2p.此时,θ=.

解法二:设直线AB的方程为x=my+,代入抛物线方程有y²-2pmy-p²=0.

∴y₁+y₂=2pm,y₁y₂=-p².

∴|y₁-y₂|==.

∴|AB|=|y₁-y₂|=·2p=2p(1+m²).

∵m∈R,

∴|AB|=2p(1+m²)≥2p.

此时m=0,即θ=时,|AB|_min=2p.

解法三:AB是焦点弦.根据抛物线的定义,|AB|等于点A与点B分别到其准线的距离之和.而准线为x=-,∴|AB|=d₁+d₂=(x₁+)+(x₂+)=x₁+x₂+p(以下同解法一).