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正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长均为2，P是侧棱AA₁上任意一点．
（1）求正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积；
（2）判断直线B₁P与平面ACC₁A₁是否垂直，请证明你的结论；
（3）当BC₁⊥B₁P时，求二面角C-B₁P-C₁的余弦值．

解：（1） $\text{[math]}$ ，
（2）建立如图空间坐标系O-xyz，设AP=a，
则A，C，B₁，P的坐标分别为 $\text{[math]}$ ；
∴ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
∴B₁P不垂直AC；
∴直线B₁P不可能与平面ACC₁A₁垂直；

（3） $\text{[math]}$ ，
由BC₁⊥B₁P，得 $\text{[math]}$ ，
即2+2（a-2）=0∴a=1；
又BC₁⊥B₁C∴BC₁⊥面CB₁P；
∴ $\text{[math]}$ 是面CB₁P的法向量；
设面C₁B₁P的法向量为 $\text{[math]}$ ，
由 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ ，
设二面角C-B₁P-C₁的大小为α，则 $\text{[math]}$ ，
∴二面角C-B₁P-C₁的余弦值大小为 $\text{[math]}$ ．
分析：1、根据公式求解即可．2、利用空间直角坐标系，根据向量可以证明．3、借用（2）中的坐标系，利用法向量求解．
点评：本题考查学生的空间想象能力，空间直角坐标系的使用，及二面角的求法，是中档题．

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