Question

（2011•东城区一模）已知四棱锥P-ABCD的底面是菱形．PB=PD，E为PA的中点．
（Ⅰ）求证：PC∥平面BDE；
（Ⅱ）求证：平面PAC⊥平面BDE．

Answer 1

分析：（I）设菱形对角线的交点为O，连接EO，可得OE是三角形APC的中位线，得到EO∥PC，结合直线与平面平行的判定定理，得到PC∥平面BDE；
（II）连接PO，利用等腰三角形的中线与高合一，得到OP⊥BD．再根据菱形ABCD中，BD⊥AC，结合直线与平面垂直的判定定理，得到BD⊥平面PAC．最后用平面与平面垂直的判定定理，得到平面PAC⊥平面BDE．

解答：解：（Ⅰ）设O为AB、CD的交点，连接EO
∵E，O分别为PA，AC的中点，
∴EO∥PC．
∵EO?平面BDE，PC?平面BDE
∴PC∥平面BDE．…（6分）
（Ⅱ）证明：连接OP
∵PB=PD，O为BD的中点
∴OP⊥BD．
又∵在菱形ABCD中，BD⊥AC
且OP∩AC=O
∴BD⊥平面PAC
∵BD?平面BDE
∴平面PAC⊥平面BDE．  …（13分）

点评：本题以四棱锥为例，考查了空间的直线与平面平行的判定，以及平面与平面垂直的判定，属于基础题．