Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，则面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD＝，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点.

（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；

（Ⅱ）求异面直线PD与CD所成角的大小；

（Ⅲ）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出　的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

本小题主要考查直线与平面的位置关系，异面直线所成角、点到平面的距离等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。　　　

　　　解法一：

　　（Ⅰ）证明：在△PAD中PA=PD,O为AD中点，所以PO⊥AD,

又侧面PAD⊥底面ABCD,平面平面ABCD=AD, 平面PAD，

所以PO⊥平面ABCD.

（Ⅱ）连结BO，在直角梯形ABCD中、BC∥AD，AD=2AB=2BC,

有OD∥BC且OD=BC,所以四边形OBCD是平行四边形，

所以OB∥DC.

由（Ⅰ）知，PO⊥OB,∠PBO为锐角，

所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角.

因为AD=2AB=2BC=2,在Rt△AOB中，AB=1,AO=1,

所以OB＝，

在Rt△POA中，因为AP＝，AO＝1，所以OP＝1，

在Rt△PBO中，tan∠PBO＝

所以异面直线PB与CD所成的角是.

（Ⅲ）假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为.

　　　设QD＝x，则，由（Ⅱ）得CD=OB=，

　　　在Rt△POC中，

所以PC=CD=DP, S_△PCD=·=.

由V_P-DQC=V_Q-PCD,得所以存在点Q满足题意，此时.

解法二：

(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)以O为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz,依题意，易得A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),

P(0,0,1),

    所以

所以异面直线PB与CD所成的角是arccos，

 (Ⅲ)假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为，

由(Ⅱ)知

设平面PCD的法向量为n=(x₀,y₀,z₀).

则　　n·＝0，所以　　-x₀+ z₀=0_,

n·＝0，　　　　-x₀+ y₀=0，
即x₀=y₀=z₀,　　　

取x₀=1，得平面PCD的一个法向量为n=(1,1,1).

设由=，得解y=-或y=(舍去)，

此时，所以存在点Q满足题意，此时.