Question

9．已知点F₁（0，-$\sqrt{3}$），F₂（0，$\sqrt{3}$），曲线r上任意一点P满足|PF₁|+|PF₂|=4，抛物线x²=2py，（p＞0）．
（1）若抛物线的焦点在曲线r上，求曲线r的标准方程和抛物线标准方程；
（2）设抛物线的焦点是F（0，$\frac{1}{2}$），在抛物线上是否存在点M，使得以点M为切点的切线与曲线r相交于A，B两点，且以AB为直径的圆过坐标原点O？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆定义求得椭圆方程
（2）假设存在点M，设坐标为（a，$\frac{1}{2}{a}^{2}$），由y=$\frac{1}{2}{x}^{2}$，得y²=x，求得切线，跟椭圆联立方程，利用韦达定理求得，根据条件列式求解．

解答 解：（1）∵|PF₁|+|PF₂|=4＞|F₁F₂|
∴P的轨迹是以4为长轴长，2$\sqrt{3}$为焦距的椭圆，椭圆方程为：$\frac{{y}^{2}}{4}+{x}^{2}=1$
又抛物线焦点在y轴正半轴上，所以焦点F（0，2），
∴x²=8y．
（2）由题意可得抛物线方程：x²=2y…（6分）
假设存在点M，设坐标为（a，$\frac{1}{2}{a}^{2}$），由y=$\frac{1}{2}{x}^{2}$，得y²=x，
所以切线方程：y-$\frac{1}{2}{a}^{2}=a（x-a）$，即$y=ax-\frac{1}{2}{a}^{2}$…（8分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由$\left\{\begin{array}{l}{y=ax-\frac{1}{2}{a}^{2}}\\{{y}^{2}+4{x}^{2}=4}\end{array}\right.$得，$（{a}^{2}+4）{x}^{2}-{a}^{2}x+\frac{1}{4}{a}^{4}-4=0$
△=${a}^{6}-4（{a}^{2}+4）（\frac{1}{4}{a}^{4}-4）=-4（{a}^{4}-4{a}^{2}-16）$（*）
由韦达定理，得：${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{{a}^{3}}{{a}^{2}+4}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{\frac{1}{4}{a}^{4}-4}{{a}^{2}+4}$=$\frac{{a}^{4}-16}{4（{a}^{2}+4）}$
由题意可得：$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，即x₁x₂+y₁y₂=0
∴${x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}={x}_{1}{x}_{2}+（a{x}_{1}-\frac{1}{2}{a}^{2}）$（$a{x}_{2}-\frac{1}{2}{a}^{2}$）=$（1+{a}^{2}）{x}_{1}{x}_{2}-\frac{{a}^{3}}{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）$$+\frac{1}{4}{a}^{4}=\frac{（1+{a}^{2}）（{a}^{4}-16）}{4（{a}^{2}+4）}-\frac{{a}^{6}}{2（{a}^{2}+4）}$$+\frac{{a}^{4}}{4}=\frac{5{a}^{4}-16{a}^{2}-16}{4（{a}^{2}+4）}=0$
解得：a2=4，带入*式，得：△＞0
综上，存在点M（±2，2）…（14分）

点评 本题主要考查椭圆定义的应用和直线与圆锥曲线的综合问题，属于中档题，在高考中常作压轴题出现．