Question

已知△ABC的三边a，b，c满足，BE、CF分别为AC、AB上的中线，建立适当的平面直角坐标系探究BE和CF的位置关系．

Answer 1

答案：略
解析：

解法1：如图所示，以△ABC的顶点A为原点O，边AB所在的直线为x轴，建立直角坐标系．由已知，点A，B，F的坐标分别为A(0，0)，B(c，0)，． 设点C的坐标为(x，y)，则点E的坐标为． 线段BE与CF所在直线的斜率分别为 ． 由，可得到 ， 即， 整理得． 所以． 因此，BF与CF互相垂直． 解法2：以△ABC的顶点B为原点，以边AB所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，由已知可知A、B、F三点的坐标分别为A(c，0)，B(0，0)，． 设点C的坐标为(x，y)，则E点的坐标为，线段BE与CF所在直线的斜率分别为 ，． 又由，得， 可得． ∴有． 所以． 因此，BE与CF互相垂直．

提示：

分析：由于在△ABC中只知道边a，b，c满足条件，及BE、CF分别为边AC、AB上的中线，要想判断BE与CF的位置关系，仅利用平面几何的有关知识难度很大，不容易入手解决．我们可以建立平面直角坐标系来解决． 建立平面直角坐标系的关键在于合理建系，这样可以使我们的计算得到进一步的简化，为解决问题带来方便，在本题中，我们有多种建系方法，可以以AB所在直线为x轴，以A为原点，也可以以AB所在直线为x轴，以B为坐标原点，还可以以C为坐标原点，以BC或AC为x轴建立平面直角坐标系．