Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，对任意的正整数n，都有a_n=5S_n+1成立．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：．

Answer 1

【答案】分析：（1）令n等于1代入a_n=5S_n+1中，即可求出首项a₁，然后把n换为n+1，利用a_n=5S_n+1表示出a_n+1，两个式子相减并利用S_n+1-S_n=a_n化简后即可得到的值即为公比，得到此数列为等比数列，然后根据首项和公比写出数列的通项公式即可；
（2）由a_n=5S_n+1解出S_n，把第一问求出的{a_n}的通项公式代入即可得到S_n的通项公式，并表示出S_2n，把表示出的式子代入到所证不等式的左边，讨论n为偶数和奇数得到比值的最小值为，得证．
解答：解：（1）当n=1时，a₁=5S₁+1，∴a₁=-，
又∵a_n=5S_n+1，a_n+1=5S_n+1+1，
∴a_n+1-a_n=5a_n+1，即且a_n≠0，n∈N^*，
∴数列{a_n}是首项为a₁=-，公比为q=-的等比数列，
∴a_n=（-）ⁿ；
（2），
∵，∴，∴S_n≠0，
又，
当n=2m，m∈N^*（偶数）时，比值=，
当n=2m-1，m∈N^*（奇数）时，比值=，
关于m为递增数列，当m=1时，取到最小值，
综上所述，对任何正整数n，不等式恒成立．
点评：此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式及前n项和的公式化简求出，会确定一个数列为等比数列，是一道综合题．