Question

已知函数f（x）是定义在（-∞，+∞）上的增函数，且对任意的实数x，y都满足f（x+y）=f（x）+f（y），f（2）=1．
（Ⅰ）求f（1）；
（Ⅱ）若f（x）+f（2x-1）≤2，求x的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵f（x+y）=f（x）+f（y），且f（2）=1，
∴令x=y=1得，f（2）=f（1+1）=f（1）+f（1）=1，
解得f（1）=，
（Ⅱ）令x=y=2得，f（2+2）=f（2）+f（2）=2，即f（4）=2，
∴f（x）+f（2x-1）≤2，转化为f（x+2x-1）≤f（4），
∵f（x）是定义在（-∞，+∞）上的增函数，
∴x+2x-1≤4，解得x≤．
分析：（Ⅰ）根据所给恒等式和条件，令x=y=1可求得f（1）的值；
（Ⅱ）根据所给恒等式和条件，令x=y=2可求得f（4）=2，由恒等式和函数的单调性，可把把不等式中的符号“f”去掉，从而变为具体不等式．
点评：本题考查抽象函数单调性应用，以及赋值法求函数的值，解决抽象不等式的基本思路是：利用函数的单调性和恒等式，将不等式中的符号“f”去掉转化为具体不等式求解．