Question

如图,已知圆C：（x-1）²+(y-2)²=2,点P（2，-1）,过P点作圆C的切线PA、PB，A、B为切点.

（1）求PA、PB所在直线的方程；

（2）求切线长|PA|；

（3）求∠APB的正弦值；

（4）求AB的方程.

Answer 1

思路解析：求切线可用圆心到直线的距离等于半径;求AB的方程可以设而不求，也可两式相减.

(1)解：设切线的斜率为k.

∵切线过点P(2，-1)，∴切线的方程为y+1＝k(x-2)，

即kx-y-2k-1=0.

又C(1，2)，半径r=，

由点到直线的距离公式,得＝.

解之,得k=7或k＝-1.

故所求切线PA、PB的方程分别是x+y-1＝0和7x-y-15＝0.

(2)解：连结AC、PC，则AC⊥AP.

在Rt△APC中，|AC|=，|PC|=＝，

∴|PA|==＝2.

(3)解：连结CB，则CB⊥BP.

由△APC≌△BPC知，∠APC=∠BPC,

∴∠APB＝2∠APC.

∴sin∠APB=sin2∠APC=2sin∠APC·cos∠APC=2××=.

(4)解法一：设A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)，

则(x₁-1)²+(y₁-2)²＝2，(x₂-1)²+(y₂-2)²＝2.

∵CA⊥AP，∴k_AC·k_AP=-1，即·=-1.

∴(y₁-2)(y₁+1)＝-(x₁-1)(x₁-2).

变形,得(y₁-2)(y₁-2+3)=-(x₁-1)(x₁-1-1)，

(y₁-2)²+(x₁-1)²+3(y₁-2)-(x₁-1)＝0.

∵(x₁-1)²+(y₁-2)²=2，

∴上式可化简为x₁-3y₁+3=0.

同理可得x₂-3y₂+3=0.

∵A、B两点的坐标都满足方程x-3y+3＝0，

∴直线AB的方程是x-3y+3＝0.

解法二:∵∠CAP=∠CBP=90°，

∴A、B两点在以CP为直径的圆上.

∵CP的中点坐标为(，)，即(，).

又|CP|=，∴以CP为直径的圆的方程为

(x-)²+(y-)²=()²，即x²+y²-3x-y=0.①

又圆C：(x-1)²+(y-2)²=2的一般方程为x²+y²-2x-4y+3=0.②

②-①,得x-3y+3=0为直线AB的方程.

深化升华

    凡与圆的切线有关的题目，常用切线与过切点的半径垂直这一性质解题.因此，求切线的方程可用点到直线的距离公式；求切线长可用勾股定理；求两切点所在直线的方程，方法有三：一是设而不求法；二是两式相减法；三是求出A、B两点的坐标，应用两点间的距离公式.例题中选择了前两种方法供借鉴.