Question

（2009•长宁区一模）已知向量

m

=（

3

sin2x-1，cosx），

n

=（1，2cosx），设函数f(x)=

m

•

n

．
（1）求函数 f（x）的最大值和最小正周期；
（2）求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：（1）由已知中量

m

=（

3

sin2x-1，cosx），

n

=（1，2cosx），函数f(x)=

m

•

n

．根据平面向量的数量积公式，结合降幂公式（二倍角公式逆用）及辅助角公式，我们易将函数的解析式化为正弦型函数的形式，进而根据正弦型函数的性质，我们可以求出函数 f（x）的最大值和最小正周期；
（2）由（1）中函数的解析式，结合正弦型函数的单调性，我们易求出函数f（x）的单调递增区间．

解答：解：（1）f(x)=

3

sin2x-1+2cos2x（2分）
=2sin(2x+

π

6

)．        （3分）
∵-1≤sin(2x+

π

6

)≤1，
∴f_max=2（6分）
最小正周期为T=

2π

2

=π．           （8分）
（2）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，(k∈Z)．           （12分）
∴kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，（14分）
函数递增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

](k∈Z)（16分）

点评：本题考查的知识点是平面向量的数量积运算，正弦型函数的图象和性质，函数图象的平移变换法则，其中根据平面向量的数量积公式和辅助角公式，求出函数的解析式是解答本题的关键．