Question

（2012•孝感模拟）数列{a_n}的前n项和S_n=npa_n（n∈N^*），并且a₁≠a₂．
（I）求P的值；
（II）作函数f（x）=a₂x²+a₃x²+…+a_n+1xⁿ，如果S₁₀=45，证明：，f（

1

3

）＜

3

4

．

Answer 1

分析：（I）由S_n=npa_n（n∈N^*），得到a₁=0，a₂≠0，由此能求出p．
（II）由Sn+1=

1

2

(n+1)an+1，Sn=

1

2

nan，知an+1=

1

2

(n+1)an+1-

1

2

nan，由此导出f（

1

3

）=

1

3

+

2

32

+…+

n

3n

，再由错位相减法能够证明f（

1

3

）＜

3

4

．

解答：解：（I）∵S_n=npa_n（n∈N^*），
∴a₁=S₁=pa₁，若a₁≠0，则p=1，
由a₁+a₂=S₂=2pa₂，
得a₁=a₂，矛盾，故a₁=0，a₂≠0，
∵a₁+a₂=S₂=2pa₂，
∴p=

1

2

．
（II）∵Sn+1=

1

2

(n+1)an+1，Sn=

1

2

nan，
∴an+1=

1

2

(n+1)an+1-

1

2

nan，
（n-1）a_n+1=na_n，
当k≥2时，

ak+1

ak

=

k

k-1

，
∴n≥3时，有an=

an

an-1

×

an-1

an-2

×…×

a3

a2

×a2=（n-1）a₂，
∴对一切n∈N^*，有a_n=（n-1）a₂，
∵45=S₁₀=10×

1

2

×a₁₀=45a₂，
∴a₂=1，a_n=n-1（n∈N^*），
故f（x）=x+2x²+…+nxⁿ，
∴f（

1

3

）=

1

3

+

2

32

+…+

n

3n

，

1

3

f(

1

3

)=

1

32

+

2

33

+…+

n

3n+1

，
∴

2

3

f(

1

3

)=

1

3

+

1

32

+…+

1

3n

-

n

3n+1

，
∴f（

1

3

）=

3

4

-

2n+3

4×3n

，
故f（

1

3

）＜

3

4

．

点评：本题考查数列的综合运用，有一定的探索性，对数学思想的要求较高，综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意错位相减法的合理运用．