Question

如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使A₁F⊥CD，如图2。

（1）求证：DE∥平面A₁CB；
（2）求证：A₁F⊥BE；
（3）线段A₁B上是否存在点Q，使A₁C⊥平面DEQ？说明理由。

Answer 1

解：（1）∵D，E分别为AC，AB的中点，
∴DE∥BC，
又DE?平面A₁CB，
∴DE∥平面A₁CB。
（2）由已知得AC⊥BC且DE∥BC，
∴DE⊥AC，
∴DE⊥A₁D，
又DE⊥CD，
∴DE⊥平面A₁DC，而A₁F?平面A₁DC，
∴DE⊥A₁F，又A₁F⊥CD，
∴A₁F⊥平面BCDE，
∴A₁F⊥BE。
（3）线段A₁B上存在点Q，使A₁C⊥平面DEQ
理由如下：如图，分别取A₁C，A₁B的中点P，Q，则PQ∥BC
∵DE∥BC，
∴DE∥PQ
∴平面DEQ即为平面DEP
由（2）知DE⊥平面A₁DC，
∴DE⊥A₁C，
又∵P是等腰三角形DA₁C底边A₁C的中点，
∴A₁C⊥DP，
∴A₁C⊥平面DEP，
从而A₁C⊥平面DEQ，
故线段A₁B上存在点Q，使A₁C⊥平面DEQ。