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(09年临沂高新区实验中学质检)(12分)

       设数列{an}的各项都是正数,且对任意n∈N*,都有a13+a23+a33+…+an3=Sn2,其中Sn为数例{an}的前n项和.

       (1)求证:an2=2Sn-an;

      

       (2)求数列{an}的通项公式;

       (3)设bn=3n+(-1)n-1λ?2an(λ为非零整数,n∈N*),试确定λ的值,使得对任意n∈N*,都有bn+1>bn成立.

 

解析:(1)由已知,当n=1时,a13=a12,

又∵a1>0,∴a1=1.                                                                                  1分

当n≥2时,a13+a23+a33+…+an3=Sn2①

a13+a23+a33+…+an-13=Sn-12②                                                             2分

由①②得,an3=(Sn-Sn-1)(Sn-Sa-1)(Sa+Sa-1)=an(Sn+Sn-1).

∵an>0,∴an2=Sn+Sn-1,

又Sn-1=Sa-aa,∴an2=2Sn-an.                                                              3分

当n=1时,a1=1适合上式.

∴an2=2Sn-an.                                                                                      4分

(2)由(1)知,an2=2Sn-an,③

当n≥2时,an-12=2Sn-1-an-1,④                                                              5分

由③④得,an2-an-12=2(Sn-Sn-1)-an+an-1=an+an-1.                   6分

∵an+an-1>0,∴an-an-1=1,数列{an}是等差数列,首项为1,公差为1.  7分

∴an=n.                                                                                                 8分

(3)∵an=n.,∴bn=3n+(-1)n-1λ?2n.

要使bn+1>bn恒成立,

bn+1-bn=3n+1-3n+(-1)nλ?2n+1-(-1)n-1λ?2n

=2×3n-3λ(-1)n-1?2n>0恒成立,  9分

即(-1)n-1λ<()n-1恒成立.

。当n为奇数时,即λ<()n-1恒成立.

又()n-1的最小值为1.∴λ<1.                                                         10分

。当n为偶数时,即λ>-()恒成立,

又-()n-1的最大值为-,∴λ>-.                                           11分

即-<λ<1,又λ≠0,λ为整数,

∴λ=-1,使得对任意n∈N*,都有bn+1<bn.                                                            12分

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科目:高中数学 来源: 题型:

(09年临沂高新区实验中学质检)已知函数,当时,只有一个实数根;当3个相异实根,现给出下列4个命题:

       ①函数有2个极值点;                     ②函数有3个极值点;           

       ③=4,=0有一个相同的实根 ④=0和=0有一个相同的实根

       其中正确命题的个数是                                                                                    (    )

       A.1                        B.2                        C.3                        D.4

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