(09年临沂高新区实验中学质检)(12分)
设数列{an}的各项都是正数,且对任意n∈N*,都有a13+a23+a33+…+an3=Sn2,其中Sn为数例{an}的前n项和.
(1)求证:an2=2Sn-an;
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)设bn=3n+(-1)n-1λ?2an(λ为非零整数,n∈N*),试确定λ的值,使得对任意n∈N*,都有bn+1>bn成立.
解析:(1)由已知,当n=1时,a13=a12,
又∵a1>0,∴a1=1. 1分
当n≥2时,a13+a23+a33+…+an3=Sn2①
a13+a23+a33+…+an-13=Sn-12② 2分
由①②得,an3=(Sn-Sn-1)(Sn-Sa-1)(Sa+Sa-1)=an(Sn+Sn-1).
∵an>0,∴an2=Sn+Sn-1,
又Sn-1=Sa-aa,∴an2=2Sn-an. 3分
当n=1时,a1=1适合上式.
∴an2=2Sn-an. 4分
(2)由(1)知,an2=2Sn-an,③
当n≥2时,an-12=2Sn-1-an-1,④ 5分
由③④得,an2-an-12=2(Sn-Sn-1)-an+an-1=an+an-1. 6分
∵an+an-1>0,∴an-an-1=1,数列{an}是等差数列,首项为1,公差为1. 7分
∴an=n. 8分
(3)∵an=n.,∴bn=3n+(-1)n-1λ?2n.
要使bn+1>bn恒成立,
bn+1-bn=3n+1-3n+(-1)nλ?2n+1-(-1)n-1λ?2n
=2×3n-3λ(-1)n-1?2n>0恒成立, 9分
即(-1)n-1λ<(
)n-1恒成立.
。当n为奇数时,即λ<(
)n-1恒成立.
又(
)n-1的最小值为1.∴λ<1. 10分
。当n为偶数时,即λ>-(
)恒成立,
又-(
)n-1的最大值为-
,∴λ>-
. 11分
即-
<λ<1,又λ≠0,λ为整数,
∴λ=-1,使得对任意n∈N*,都有bn+1<bn. 12分
科目:高中数学 来源: 题型:
(09年临沂高新区实验中学质检)已知函数
,当
时,
只有一个实数根;当
3个相异实根,现给出下列4个命题:
①函数
有2个极值点; ②函数
有3个极值点;
③
=4,
=0有一个相同的实根 ④
=0和
=0有一个相同的实根
其中正确命题的个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
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