练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

    设n∈N*，证明4×6n＋5n+1除以20的余数为9．

    答案：
    解析：

    　　证明：(1)当n＝1时，4×61＋52＝24＋25＝49＝2×20＋9命题成立．

    　　(2)假设当n＝k时命题成立，即4×6k＋5k+1被20除余9，即4×6k＋5k+1－9被20整除，

    　　则当n＝k＋1时，4×6k+1＋5k+2－9

    　　＝6×(4×6k＋5k+1－9)－6×5k+1＋5k+2＋45

    　　＝6×(4×6k＋5k+1－9)＋45－5k+1．

    　　∵6×(4×6k＋5k+1－9)被20整除，只需证45－5k+1被20整除．

    　　①当n＝1时，451－51+1＝45－25＝20被20整除成立；

    　　②假设当n＝k时成立，即45－5k+1被20整除，

    　　则当n＝k＋1时，45－5k+2＝(45－5k+1)×5－180能被20整除，∴当n＝k＋1时成立．

    　　∴45－5k+1都能被20整除．

    　　∴当n＝k＋1时原命题成立．

    　　由(1)(2)可知命题成立．

    　　思路分析：本题研究余数问题实质上是20的倍数再加9．也可看作是4×6n＋5n+1－9被20整除．整除性问题可用数学归纳法证明．


    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=x2-4，设曲线y=f（x）在点（xn，f（xn））处的切线与x轴的交点为（xn+1，0）（n∈N*），其中x1为正实数．
    （Ⅰ）用xn表示xn+1；
    （Ⅱ）若x1=4，记an=lg
    xn+2xn-2
    ，证明数列{an}成等比数列，并求数列{xn}的通项公式；
    （Ⅲ）若x1=4，bn=xn-2，Tn是数列{bn}的前n项和，证明Tn＜3．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    有n个首项都是1的等差数列，设第m个数列的第k项为amk（m，k=1，2，3，…，n，n≥3），公差为dm，并且a1n，a2n，a3n，…，ann成等差数列．
    （Ⅰ）证明dm=p1d1+p2d2（3≤m≤n，p1，p2是m的多项式），并求p1+p2的值；
    （Ⅱ）当d1=1，d2=3时，将数列dm分组如下：（d1），（d2，d3，d4），（d5，d6，d7，d8，d9），…（每组数的个数构成等差数列）．设前m组中所有数之和为（cm）4（cm＞0），求数列{2cmdm}的前n项和Sn．
    （Ⅲ）设N是不超过20的正整数，当n＞N时，对于（Ⅱ）中的Sn，求使得不等式
    150
    (Sn-6)＞dn    成立的所有N的值．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=x2-4，设曲线y=f（x）在点（xn，f（xn））处的切线与X轴的交点为（xn+1，0）（n∈N*，xn为正数）．
    （1）试用xn表示xn+1；
    （2）若x1=4，记an=lg
    xn+2xn-2
    ，证明{an}是等比数列，并求数列{xn}的通项公式．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知数列{an}中，a0=2，a1=3，a2=6，且对n≥3时，有an=（n+4）an-1-4nan-2+（4n-8）an-3．
    （Ⅰ）设数列{bn}满足bn=an-nan-1，n∈N*，证明数列{bn+1-2bn}为等比数列，并求数列{bn}的通项公式；
    （Ⅱ）记n×（n-1）×…×2×1=n!，求数列{nan}的前n项和Sn．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案