Question

(2007北京海淀模拟)如下图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，∠ABC=∠BCD=90°，，E是BP的中点．

(1)求证：EC∥平面APD；

(2)求BP与平面ABCD所成角的正切值；

(3)求二面角P－AB－D的大小．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)如图，取PA中点F，连结EF、FD， ∴EF∥CD且EF=CD． ∴四边形EFDC是平行四边形， 故得EC∥FD． 又∵平面PAD，FD平面PAD， ∴EC∥平面ADP． (2)取AD中点H，连结PH，BH，因为PA=PD， 所以PH⊥AD． ∵平面PAD⊥平面ABCD． ∴PH⊥平面ABCD． ∴HB是PB在平面ABCD内的射影． ∴∠PBH是PB与平面ABCD所成角． 由已知∠ABC=∠BCD=90°， ∴四边形ABCD是直角梯形． ∴在Rt△PHB中，． (3)在平面ABCD内过点H作AB的垂线交AB于G点，连结PG，则HG是PG在平面ABCD内的射影，故PG⊥AB，所以∠PGH是二面角P－AB－D的平面角，由AB=2a，，又∠HAB=45°， ∴．在Rt△PHG中，．