Question

已知数列{a_n}满足a₁=3，a_na_n-1=2a_n-1-1．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）求证：数列{

1

an-1

}是等差数列，并求出{a_n}的通项公式．
（3）若bn=(2n-1)2nan，求{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）由a₁=3，a_na_n-1=2a_n-1-1．分别令n值为2，3，4，可逐项求出a₂，a₃，a₄；
（2）由a₁=3，a_na_n-1=2a_n-1-1．可得

1

an-1

-

1

a-1 -1

=1，即数列{

1

an-1

}是以

1

2

为首项，以1为公式差的等差数列，先求出数列{

1

an-1

}的通项，进而可得{a_n}的通项公式
（3）{b_n}的通项是一个等差数列和等比数列积的形式，故应使用错位相减法，求{b_n}的前n项和T_n．

解答：解：（1）∵a₁=3，a_na_n-1=2a_n-1-1．
当n=2时，a₂a₁=2a₁-1，即a₂=2-

1

a1

=

5

3

，
当n=3时，a₃a₂=2a₂-1，即a₃=2-

1

a2

=

7

5

，
当n=4时，a₄a₃=2a₃-1，即a₄=2-

1

a3

=

9

7

，
证明：（2）由题意得a_n≠0且a_n≠1
∵a_na_n-1=2a_n-1-1．
∴（a_n-1-1）-（a_n-1）=（a_n-1-1）（a_n-1）
∴

1

an-1

-

1

a-1 -1

=1
∴数列{

1

an-1

}是以

1

2

为首项，以1为公式差的等差数列
故

1

an-1

=

1

2

+n-1=n-

1

2

∴an=

2

2n-1

+1=

2n+1

2n-1

解：（3）由（2）得：bn=(2n+1)2n
∴T_n=3•2+5•2²+7•2³+…+（2n+1）2ⁿ…①
∴2T_n=3•2²+7•2³+…+（2n-1）2ⁿ+（2n+1）2ⁿ⁺¹…②
②-①得：Tn=(2n-1)2n+1+2

点评：本题是数列问题比较经典的考题，是高考试卷考查数列的常见题型，首先要根据定义法，迭代法、构造数列法等求出数列的通项公式，再利用裂项法，错位相减法等求数列的前n项和．