Question

如图，正四棱锥P-ABCD的侧棱中点为E，
（1）求证：PA∥截面BDE；
（2）求证：平面PAC⊥截面BDE；
（3）如果PA=5，AB=3

2

，求PA与平面BDE的距离．

Answer 1

分析：（1）先根据中位线定理得到OE∥AP，进而再由线面平行的判定定理可得到PA∥平面BDE．
（2）先根据线面垂直的性质定理得到PO⊥BD，结合AC⊥BD根据线面垂直的判定定理得到BD⊥平面PAC，从而根据面面垂直的判定定理得到平面PAC⊥平面BDE，得证．
（3）由（2）知，平面PAC⊥平面BDE，得到PA到平面BDE的距离即为PA与OE之间的距离，过O作OF⊥PA，F为垂足，根据等面积法得到结果．

解答：解：

（1）连接OE，∵OE是△PAC的中位线，∴OE∥PA
又OE?平面BDE，∴AP∥截面BDE---------------------------------------------------------4′
（2）连接PO，∵P-ABCD时正四棱锥，∴PO⊥平面ABCD
∴BO⊥PO；又BD⊥AC，∴BD⊥平面PAC
又BD?平面DBE∴平面PAC⊥截面BDE---------------------------------------------------9′
（3）由（2）知，平面PAC⊥平面BDE
∴PA到平面BDE的距离即为PA与OE之间的距离
过O作OF⊥PA，F为垂足
∴OF=

AO•PO

AP

，∵AO=3，PO=4，∴OF=

12

5

即PA 与平面BDE 的距离为

12

5

-------------------------------------------------------------14′

点评：本题主要考查中位线定理、线面平行的判定定理和面面垂直的判定定理．考查立体几何的基本定理和空间想象能力．