Question

设函数f（x）=x²-2x+alnx．
（1）若函数f（x）是定义域上的单调函数，求实数a的取值范围；
（2）求函数f（x）的极值点．

Answer 1

分析：（1）利用函数单调，其导函数大于等于0或小于等于0恒成立；二次不等式恒成立，即最小值≥0恒成立．
（2）据（1）根据参数的范围，对函数单调性分类判断，据极值的定义在各类中求出函数的极值．

解答：解：（1）f′(x)=2x-2+

a

x

=

2x2-2x+a

x

，
若函数f（x）是定义域上的单调函数，则只能f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
即2x²-2x+a≥0在（0，+∞）上恒成立恒成立，
令g（x）=2x²-2x+a，则函数g（x）图象的对称轴方程是x=

1

2

，
故只要△=4-8a≤0恒成立，即只要a≥

1

2

．
（2）有（1）知当a≥

1

2

时，f′（x）=0的点是导数不变号的点，
故a≥

1

2

时，函数无极值点；
当a＜

1

2

时，f'（x）=0的根是x1=

1- 1-2a

2

，x2=

1+ 1-2a

2

，
若a≤0，

1-2a

≥1，此时x₁≤0，x₂＞0，且在（0，x₂）上f′（x）＜0，
在（x₂，+∞）上f'（x）＞0，故函数f（x）有唯一的极小值点x2=

1+ 1-2a

2

；
当0＜a＜

1

2

时，0＜

1-2a

＜1，
此时x₁＞0，x₂＞0，f′（x）在（0，x₁），（x₂，+∞）都大于0，f′（x）在（x₁，x₂）上小于0，
此时f（x）有一个极大值点x1=

1- 1-2a

2

和一个极小值点x2=

1+ 1-2a

2

．
综上可知，a≤0时，f（x）在（0，+∞）上有唯一的极小值点x2=

1+ 1-2a

2

；
0＜a＜

1

2

时，f（x）有一个极大值点x1=

1- 1-2a

2

和一个极小值点x2=

1+ 1-2a

2

；
a≥

1

2

时，函数f（x）在（0，+∞）上无极值点．

点评：本题考查知函数单调性求参数范围；分类讨论求函数的极值．