Question

已知a、b均为非零向量，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角．

Answer 1

答案：
解析：

答案：解法一：∵a＋3b与7a－5b垂直， 　　∴(a＋3b)(7a－5b)＝0，即7｜a｜2＋16a·b－15｜b｜2＝0．① 　　同理，由a－4b与7a－2b垂直可得：7｜a｜2－30a·b＋8｜b｜2＝0．② 　　①－②得46a·b＝23｜b｜2，∴a·b＝｜b｜2．③ 　　将③代入①得｜a｜2＝｜b｜2，∴｜a｜＝｜b｜． 　　设a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝． 　　∴θ＝，即所求的a与b的夹角为． 　　解法二：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 　　a＋3b＝(x1＋3x2，y1＋3y2)，7a－5b＝(7x1－5x2，7y1－5y2)． 　　由(a＋3b)⊥(7a－5b)得： 　　(x1＋3x2)(7x1－5x2)＋(y1＋3y2)(7y1－5y2)＝0， 　　∴7＋16x1x2－15＋7＋16y1y2－15＝0．① 　　同理，由(a－4b)⊥(7a－2b)可得： 　　7－30x1x2＋8＋7－30y1y2＋8＝0．② 　　由①－②得46(x1x2＋y1y2)＝23(＋)． 　　∴x1x2＋y1y2＝(＋)．③ 　　将③代入①得＋＝＋． 　　设a与b的夹角为θ，则 　　cosθ＝＝＝， 　　∴θ＝，即a与b的夹角为． 　　分析：由向量的数量积的定义a·b＝｜a｜·｜b｜cosθ，只要找出a、b之间的内在关系，就可以求出所求夹角θ而由已知条件可以求出a与b之间的关系，或利用向量的坐标形式，借助结论cosθ＝解题．

提示：

解答本题的关键在于目标应明确，运算思路要清楚．如在解法一中，当①－②得到a·b＝｜b｜2时，若不代回①得出｜a｜＝｜b｜，就很难直接用cosθ＝得出cosθ的值，甚会面对a·b＝｜b｜2感到一筹莫展．解法二中，同样也可以作类似的变形，这表明，在涉及数量积的有关运算时，可据已知条件进行灵活变形．本题是用向量的数量积处理有关角度问题，两种方法只是向量的表示形式不同，本质上是一致的，可谓“殊途同归”．