Question

已知复数z₁=i（1－i）³.

（Ⅰ）求argz₁及|z₁|；

（Ⅱ）当复数z满足|z|=1，求|z－z₁|的最大值.

Answer 1

答案：
解析：

（Ⅰ）解：z1=i（1－i）3=i（－2i）（1－i）=2（1－i） ∴|z1|=，argz1=2（cosπ＋isinπ） ∴argz1=π （Ⅱ）解法一：|z|=1，∴设z=cosθ＋isinθ |z－z1|=|cosθ＋isinθ－2＋2i| = 当sin（θ）=1时|z－z1|2取得最大值9＋4 从而得到|z－z1|的最大值2＋1 解法二：|z|=1可看成z为半径为1，圆心为（0，0）的圆. 而z1可看成在坐标系中的点（2，－2） ∴|z－z1|的最大值可以看成点（2，－2）到圆上的点距离最大.由图可知：|z－z1|max=2＋1