Question

（本小题15分）已知，是实数，方程有两个实根，，数列满足，，
(Ⅰ)求数列的通项公式（用，表示）；
(Ⅱ)若，，求的前项和．

Answer 1

,

方法一：
(Ⅰ)由韦达定理知，又，所以
，
整理得
令，则．所以是公比为的等比数列．
数列的首项为：
．
所以，即．所以．
①当时，，，变为．整理得，，．所以，数列成公差为的等差数列，其首项为．所以
．
于是数列的通项公式为
；……………………………………………………………………………5分
②当时，，


．
整理得
，．
所以，数列成公比为的等比数列，其首项为．所以．
于是数列的通项公式为．………………………………………………10分
(Ⅱ)若，，则，此时．由第(Ⅰ)步的结果得，数列的通项公式为，所以，的前项和为


以上两式相减，整理得
所以．……………………………………………………………………………15分
方法二：
(Ⅰ)由韦达定理知，又，所以
，．
特征方程的两个根为，．
①当时，通项由，得

解得．故 ．……………………………………………………5分
②当时，通项．由，得

解得，．故
．…………………………………………………………10分
(Ⅱ)同方法一．