Question

22.已知各项全不为零的数列{a_k}的前k项和为S _k ，且  S _k =a_ka_k+1(kN*),其中a₁=1.

（Ⅰ）求数列{a_k}的通项公式；

（Ⅱ）对任意给定的正整数n(n≥2)，数列{b_k}满足(k=1,2,…,n-1),

b₁=1.求b₁+b₂+…+b_n.

Answer 1

解：（Ⅰ）当k=1,由a₁=S₁=a₁a₂及a₁=1,得a₂=2.

当k≥2时，由a_k= =a_ka_k+1-a_k-1a_k,得a_k(a_k+1-a_k-1)=2a_k.

因为a_k≠0,所以a_k+1-a_k-1=2.从而a_2m-1=1+(m-1)·2=2m-1,

a_2m=2+(m-1)·2=2m,mN*.故a_k=k(kN*).

（Ⅱ）因为a_k=k,所以

所以

=(-1)^k-1·(k=1,2,…，n).

故b₁+b₂+b₃+…+b_n=

=