Question

已知数列{a_n}满足na_n+1=（n+1）a_n，a₁=1．
（Ⅰ） 求数列{}的前n项和T_n；
（Ⅱ）若存在n∈{n|1≤n≤9，n∈N^*}，使不等式T_n＜t²-成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵数列{a_n}满足na_n+1=（n+1）a_n，
∴
∴数列{}是等差数列，
∵a₁=1，∴，∴a_n=n
∵
∴T_n=1--+…+=1-=
（Ⅱ）若存在n∈{n|1≤n≤9，n∈N^*}，使不等式T_n＜t²-成立，只要（T_n）_min＜t²-
∵
∴T_n是单调递增的
∵n∈{n|1≤n≤9，n∈N^*}，∴（T_n）_min=T（1）=
于是只要＜t²-，∴t＜-1或t＞1
∴实数t的取值范围是t＜-1或t＞1．
分析：（Ⅰ） 根据数列{a_n}满足na_n+1=（n+1）a_n，可得数列{}是等差数列，从而可得a_n=n，再根据，即可求得数列{}的前n项和T_n；
（Ⅱ）若存在n∈{n|1≤n≤9，n∈N^*}，使不等式T_n＜t²-成立，只要（T_n）_min＜t²-，利用作差法证明T_n是单调递增的
，从而问题转化为＜t²-，由此可求实数t的取值范围．
点评：本题考查构造法求数列的通项，考查数列的求和，考查恒成立问题，解题的关键是将存在n∈{n|1≤n≤9，n∈N^*}，使不等式T_n＜t²-成立，转化为（T_n）_min＜t²-．