Question

已知函数f（x）=2（-）（a＞0，且a≠1）．
（1）求函数y=f（x）的反函数y=f^-1（x）；
（2）判定f^-1（x）的奇偶性；
（3）解不等式f^-1（x）＞1．

Answer 1

解：（1）化简，得f（x）=．
设y=，则a^x=．
∴x=log_a．
∴所求反函数为
y=f^-1（x）=log_a（-1＜x＜1）．
（2）∵f^-1（-x）=log_a=log_a（）^-1=-log_a=-f^-1（x），
∴f^-1（x）是奇函数．
（3）log_a＞1．
当a＞1时，
原不等式?＞a?＜0．
∴＜x＜1．
当0＜a＜1时，原不等式
解得
∴-1＜x＜．
综上，当a＞1时，所求不等式的解集为（，1）；
当0＜a＜1时，所求不等式的解集为（-1，）．
分析：（1）欲求原函数的反函数，即从原函数式y=f（x）中反解出x，后再进行x，y互换，即得反函数的解析式．
（2）欲判定f^-1（x）的奇偶性，只须看看f^-1（x）与f^-1（-x）的关系即可；
（3）欲解log_a＞1，先对a进行分类讨论，结合对数函数的单调性去掉对数符号转化为分式不等式求解即可．
点评：本题主要考查了反函数、函数奇偶性的判断、对数函数的性质及分类讨论的数学思想等，属于中档题．