Question

在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，SB⊥底面ABCD，SB=AB，设Q为SD的中点，M为AB的中点.

(1)求证：MQ∥平面SBC；

(2)求证：平面SDM⊥平面SCD；

(3)求锐二面角S-DM-C的大小.

Answer 1

解法一：（1）证明：取SC的中点R，连结QR、BR，

因为Q为SD的中点，

所以QR∥DC且QR=DC.

在正方形ABCD中，M为AB的中点，

∴BM∥DC且BM=DC.

∴四边形MQRB为平行四边形，

∴MQ∥BR,又BR平面SBC，

∴MQ∥平面SBC.

（2）证明：因为SB=AB，所以ΔSBC为等腰三角形，又R为SC中点，

∴BR⊥SC,∵MQ∥BR ∴MQ⊥SC.

∵CD⊥BC,∴CD⊥BR,（三垂线定理）

∴MQ⊥CD,SC∩CD=C,∴MQ⊥平面SCD,

而MQ平面SDM  ∴平面SDM⊥平面SCD.

（3）解：过B作BH⊥DM,交DM的延长线于H，连结SH.

∵SB⊥平面ABCVD，由三垂线定理可得：SH⊥DH,

∴∠SHB为二面角S-DM-C的平面角.

设AB=1,则BH=BMsin∠AMD=,

∴tan∠SHB=,∴∠SHB=arctan.

解法二：（2）如图所示，以B为原点，直线BC、BA、BS分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系B-xyz,设AB=SB=2,则相关点的坐标分别为

S(0,0,2),A(0,2,0),C(2,0,0),D(2,2,0),M(0,1,0),Q(1,1,1)

从而=(1,0,1), =(2,2-2),=(0,2,0),

所以=(1,0,1)·(2,2,-2)=0,

=(1,0,1)·(0,2,0)=0,

所以,,即MQ⊥SD,MQ⊥CD.

又SD∩CD=D,所以MQ⊥平面SCD.

而MQ平面SDM，所以平面SDM⊥平面SCD.

（3）由（2）知(0,0,2)是平面ABCD的法向量

令n=(x,y,z)是平面SDM的法向量，则n·=n·=0,则=(2,2,-2), =(-2,-1,0),

所以

令x=1得y=-2,z=-1,即n=(1,-2,-1).

设α是锐二面角S-DM-C的平面角，则

cosα=|cos(n,)|=

=.

因此锐二面角S-DM-C的大小为arccos.