Question

如图，正三棱柱ABC—A₁B₁C₁的底面边长为3，侧棱AA₁=，D是CB延长线上一点，且BD=BC.

(1)求证:直线BC₁∥平面AB₁D；

(2)求二面角B₁ADB的大小；

(3)求三棱锥C₁—ABB₁的体积.

Answer 1

(1)证明:∵CD∥C₁B₁，

又BD=BC=B₁C₁，

∴四边形BDB₁C₁是平行四边形.

∴BC₁∥DB₁.

又DB₁平面AB₁D，BC₁平面AB₁D，

∴直线BC₁∥平面AB₁D.

(2)解:过B作BE⊥AD于E，连结EB₁.

∵B₁B⊥平面ABD，

∴B₁E⊥AD.

∴∠B₁EB是二面角B₁ADB的平面角.

∵BD=BC=AB，

∴E是AD的中点.

∴BE=AC=.

在Rt△B₁BE中，tan∠B₁EB=.

∴∠B₁EB=60°,

即二面角B_1-AD-B的大小为60°.

(3)解法一:过A作AF⊥BC于F,

∵B₁B⊥平面ABC，

∴平面ABC⊥平面BB₁C₁C.

∴AF⊥平面BB₁C₁C，

且AF=×3=.

∴V_C1—ABB1=V_A—BB1C1=S_△BB1C1·AF=(××3)×=,

即三棱锥C₁—ABB₁的体积为.

解法二:在三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，

∵，

∴=S_△A1B1C1·AA₁=×(×3²)×=，

即三棱锥C₁—ABB₁的体积为.