Question

抛物线y=-x²+4上存在两点关于直线y=kx+3对称，则k的取值范围是______．

Answer 1

设两对称点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则直线AB与直线y=kx+3对称，
易知k≠0，设AB方程为：y=-

1

k

x+m，
由

y=- 1 k x+m y=-x2+4

得x2-

1

k

x+m-4=0，则△=(-

1

k

)2-4(m-4)＞0①，
x₁+x₂=

1

k

，则AB中点横坐标为

1

2k

，代入y=kx+3得y=k•

1

2k

+3=

7

2

，所以AB中点坐标为（

1

2k

，

7

2

），
又中点在直线AB上，所以

7

2

=-

1

k

•

1

2k

+m，即

7

2

=-

1

2k2

+m②，
由②得m=（

7

2

+

1

2k2

），代入①解得k＜-

2

2

或k＜-

2

2

，
所以k的取值范围为：k＜-

2

2

或k＜-

2

2

．
故答案为k＜-

2

2

或k＜-

2

2