Question

（2010•武昌区模拟）已知数列{a_n}，{b_n}满足a1=

1

2

，b2=-

1

2

，且对任意m，n∈N^*，有a_m+n=a_m•a_n，b_m+n=b_m+b_n．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）求数列{a_nb_n}的前n项和T_n；
（3）若数列{c_n}满足bn=

4cn+n

3cn+n

，试求{c_n}的通项公式并判断：是否存在正整数M，使得对任意n∈N^*，c_n≤c_M恒成立．

Answer 1

分析：（1）由已知利用赋值，取m=1，可得数列{a_n}，{b_n}分别为等比，等差数列．结合等差数列与等比数列的通项公式可求
（2）由（1）可得，a_nb_n=-

n

2

•(

1

2

)n，考虑利用错误相减可求数列的和
（3）由bn=

4cn+n

3cn+n

，可得cn=-

n2+2n

3n+8

，由cn+1-cn=-

3n2+19n+24

(3n+8)(3n+11)

＜0．可得数列{c_n}为递减数列，从而可判断

解答：解：（1）由已知，对任意m，n∈N^*，
有a_m+n=a_m•a_n，b_m+n=b_m+b_n．
取m=1，得an+1=a1an=

1

2

an，bn+1=b1+bn=-

1

2

+bn．
所以数列{a_n}，{b_n}分别为等比，等差数列．
∴an=

1

2

•(

1

2

)n-1=(

1

2

)n
bn=-

1

2

+(n-1)(-

1

2

)=-

n

2

…（4分）
（2）Tn=(-

1

2

)(

1

2

)1+(-

2

2

)(

1

2

)2+(-

3

2

)(

1

2

)3+…+(-

n

2

)(

1

2

)n

1

2

Tn=(-

1

2

)• (

1

2

) 2+(- 

2

2

)•(

1

2

)3+…+(-

n

2

)•(

1

2

)n+1
两式相减，

1

2

Tn=-

1

22

-

1

2

[(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n]+

n

2

•(

1

2

)n+1
并化简得Tn=n×(

1

2

)n+1+(

1

2

)n-1．…（8分）
（3）由bn=

4cn+n

3cn+n

，
得cn=-

n2+2n

3n+8

．…（10分）
∵cn+1-cn=-

3n2+19n+24

(3n+8)(3n+11)

＜0．
∴数列{c_n}为递减数列，c_n的最大值为c₁．
故存在M=1，使得对任意n∈N^*，c_n≤c₁恒成立…

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式，等差数列与等比数列的通项公式的求解，错位相减求解数列的和是数列求和的重点与难点，而利用数列的单调性求解数列的最大项的求解的方法要注意掌握体会