Question

已知函数f（x）=-x²+2x，g（x）=kx，定义域都是[0，2]，若|f（x）+g（x）|＜1恒成立，求实数k的范围．

Answer 1

分析：|f（x）+g（x）|＜1恒成立，即-x²+（2+k）x-1＜0，且-x²+（2+k）x+1＞0恒成立．采用分离变量的方法，结合基本不等式法和导数法分别求出相应的最值，建立不等关系求解．

解答：解：∵|f（x）+g（x）|＜1，
∴-1＜f（x）+g（x）＜1，
即-1＜-x²+（2+k）x＜1，
即-x²+（2+k）x-1＜0①，
且-x²+（2+k）x+1＞0②
当x=0时，①②对任意的k都成立．
当x∈（0，2]时，由①得k+2＜

x2+1

x

=x+

1

x

，而x+

1

x

≥2

x× 1 x

=2，
∴k+2＜2，k＜0③．
由②得k+2＞

x2-1

x

=x-

1

x

，令h（x）=x-

1

x

，
则h′（x）=1+

1

x2

＞0，h（x）在0，2]是单调递增，
∴h（x）max=h（2）=

3

2

，
∴k+2＞

3

2

，
∴k＞-

1

2

④．
由③④得，实数k的范围是-

1

2

＜k＜0

点评：本题考查的知识点是函数恒成立问题，掌握分离变量的方法是本题的关键．