Question

（2013•南通二模）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，BC∥平面PAD，∠PBC=90°，∠PBA≠90°．求证：
（1）AD∥平面PBC；
（2）平面PBC⊥平面PAB．

Answer 1

分析：（1）由BC∥平面PAD，利用线面平行的性质定理即可得到BC∥AD，再利用线面平行的判定定理即可证明AD∥平面PBC；
（2）自P作PH⊥AB于H，由平面PAB⊥平面ABCD，可得PH⊥平面ABCD．于是BC⊥PH．又BC⊥PB，可得BC⊥平面PAB，进而得到面面垂直．

解答：证明：（1）因为BC∥平面PAD，
而BC?平面ABCD，平面ABCD∩平面PAD=AD，
所以BC∥AD．
因为AD?平面PBC，BC?平面PBC，
所以AD∥平面PBC．
（2）自P作PH⊥AB于H，因为平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB∩平面ABCD=AB，
所以PH⊥平面ABCD．
因为BC?平面ABCD，所以BC⊥PH．
因为∠PBC=90°，所以BC⊥PB，
而∠PBA≠90°，于是点H与B不重合，即PB∩PH=P．
因为PB，PH?平面PAB，所以BC⊥平面PAB．
因为BC?平面PBC，故平面PBC⊥平面PAB．

点评：本题综合考查了线面、面面垂直的判定与性质定理，线面平行的判定与性质定理，需要较强的推理能力和空间想象能力．