Question

函数f（x）=2^x，f（1）•f^-1（2）+f（2）•f^-1（4）+…+f（n）•f^-1（2ⁿ）=

（n-1）2ⁿ⁺¹+2

．

Answer 1

分析：根据反函数求出，a_n=f（n）•f^-1（2ⁿ）=2ⁿ•log₂2ⁿ=n•2ⁿ，的通项公式列举出数列{a_n}的前n项和T_n的各项，记作①，两边乘以2得到一个等式，记作②，①-②，根据等比数列的前n项和公式化简即可求出T_n的通项公式，进而求出数列的前n项和即可．

解答：解：∵函数f（x）=2^x，
∴f ^-1（x）=log₂x，
∴f（n）•f^-1（2ⁿ）=2ⁿ•log₂2ⁿ=n•2ⁿ，
设T_n=2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，①，
2T_n=2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，②，
①-②得：-T_n=2+2（2²+2³+…+2ⁿ）-n•2ⁿ⁺¹
=2+2•

4(1-2n-1)

1-2

-n•2n+1
=-[（n-1）2ⁿ⁺¹+2]．
∴T_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2．（14分）
故答案为：（n-1）2ⁿ⁺¹+2．

点评：本题主要考查数列求和的错位相减法、等比数列的前n项和公式以及确定等比数列的方法，考查学生的运算能力．