Question

12．求下列函数的值域．
（1）y=$\frac{1-{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$；
（2）y=2x+$\sqrt{1-x}$；
（3）y=2x+$\sqrt{1-{x}^{2}}$；
（4）y=$\frac{{x}^{2}-2x+5}{x-1}$；
（5）若x，y满足3x²+2y²=6x，求函数z=x²+y²的值域；
（6）f（x）=|2x+1|-|x-4|

Answer 1

分析 （1）化简y=$\frac{1-{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$=-1+$\frac{2}{1+{x}^{2}}$，从而求函数的值域；
（2）化简y=2x+$\sqrt{1-x}$=-2（1-x）+$\sqrt{1-x}$+2=-2（$\sqrt{1-x}$-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{17}{8}$，从而求函数的值域；
（3）利用换元法令x=sina，$\sqrt{1-{x}^{2}}$=cosa，（-$\frac{π}{2}$≤a≤$\frac{π}{2}$），从而化简求函数的值域；
（4）化简分离y=$\frac{{x}^{2}-2x+5}{x-1}$=（x-1）+$\frac{4}{x-1}$，从而求函数的值域；
（5）3x²+2y²=6x可化为（x-1）²+$\frac{2}{3}$y²=1；故令x=1+cosa，y=$\frac{\sqrt{6}}{2}$sina；从而化简求函数的值域；
（6）作函数f（x）=|2x+1|-|x-4|的图象，从而求函数的值域．

解答 解：（1）y=$\frac{1-{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$=-1+$\frac{2}{1+{x}^{2}}$；
故函数的值域为（-1，1]；
（2）y=2x+$\sqrt{1-x}$
=-2（1-x）+$\sqrt{1-x}$+2
=-2（$\sqrt{1-x}$-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{17}{8}$；
故函数的值域为{y|y≤$\frac{17}{8}$}；
（3）y=2x+$\sqrt{1-{x}^{2}}$，
令x=sina，$\sqrt{1-{x}^{2}}$=cosa，（-$\frac{π}{2}$≤a≤$\frac{π}{2}$）；
故y=2sina+cosa=$\sqrt{5}$sin（a+θ），
（其中sinθ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，cosθ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$）；
故-2≤2x+$\sqrt{1-{x}^{2}}$≤$\sqrt{5}$；
故函数的值域为[-2，$\sqrt{5}$]；
（4）y=$\frac{{x}^{2}-2x+5}{x-1}$=（x-1）+$\frac{4}{x-1}$；
故函数的值域为（-∞，-4]∪[4，+∞）；
（5）3x²+2y²=6x可化为（x-1）²+$\frac{2}{3}$y²=1；
令x=1+cosa，y=$\frac{\sqrt{6}}{2}$sina；
故z=x²+y²=1+cos²a+2cosa+$\frac{3}{2}$sin²a
=-$\frac{1}{2}$（cosa-2）²+$\frac{9}{2}$；
∵1≤（cosa-2）²≤9；
∴0≤-$\frac{1}{2}$（cosa-2）²+$\frac{9}{2}$≤4；
故函数z=x²+y²的值域为[0，4]；
（6）作函数f（x）=|2x+1|-|x-4|的图象如下，

当x=-$\frac{1}{2}$时，y=-$\frac{9}{2}$；
故函数的值域为[-$\frac{9}{2}$，+∞）．

点评 本题考查了函数的值域的求法，根据不同的问题选择不同的方法即可．