Question

已知函数f（x）=ax²-（2a-1）x-lnx（a∈R且a≠0）
（Ⅰ）当a=2时，判断函数f（x）在区间（）上的零点个数，并说明理由；
（Ⅱ）若函数f（x）在（1，e）上是单调函数，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）欲判断函数f（x）在区间（）上的零点个数，先要研究函数在（，e）上的单调性，然后求出端点的函数值和极值，判定符号，根据根的存在性定理可判定；
（ II）欲使函数f（x）在（1，e）上是单调函数，只需极值点不在区间（1，e）上即可．
解答：解：（I）当a=2时，f（x）=2x²-3x-lnx
f'（x）=4x-3-=
∴当x∈（，1）时，f'（x）＜0，当x∈（1，e）时，f'（x）＞0
即f（x）在（，1）上递减，在（1，e）上递增，
∵f（1）=-1＜0，f（）=＞0，f（e）=2e²-3e-1＞0
∴函数f（x）在区间（）上有两个零点
（ II）∵a≠0
∴f'（x）=0的根是…（8分）
当时，f'（x）在（1，e）上恒大于0，或者恒小于0，
∴函数f（x）在（1，e）上单调，
故a＞0 或…（11分）
当时，若函数f（x）在（1，e）上单调，则，故，…（14分）
综上或或a＞0．…．…（15分）
点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数的极值和根的存在性定理，同时考查了转化的思想和计算能力，属于中档题．