Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F₁、F₂，离心率e=

1

2

，直线y=x+2经过左焦点F₁．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若P为椭圆C上的点，求∠F₁PF₂的范围．

Answer 1

分析：（1）由已知可求F₁，进而可求c，结合e=

c

a

=

1

2

可求a，最后由b²=a²-c²可求b，即可求解椭圆的方程
（2）当P在椭圆的右顶点时，易得∠F₁PF₂=0；当P不在椭圆的右顶点时，由定义可知，8=PF₁+PF₂，利用基本不等式可求

1

PF1•PF2

的范围，然后在△F₁PF₂中，由余弦定理可得可求cos∠F₁PF₂的取值范围，进而可求角的范围

解答：解：（1）直线y=x+2与x的交点的坐标为（-2，0），则F₁的坐标为（-2，0）．…（2分）
设焦距为2c，则c=2．∵e=

c

a

=

1

2

∴a=4，b²=a²-c²=12．…（5分）
则椭圆的方程为

x2

16

+

y2

12

=1．…（6分）
（2）当P在椭圆的右顶点时，∠F₁PF₂=0（7分）
当P不在椭圆的右顶点时，由定义可知，8=PF₁+PF₂≥2

PF1•PF2

∴

1

PF1•PF2

≥

1

16

当且仅当PF₁=PF₂时等号成立
△F₁PF₂中，由余弦定理可得cos∠F1PF2=

|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2

2|PF1|×|PF2|

=

(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|×|PF2|-|F1F2|2

2|PF1|×|PF2|

（9分）
=

48-2|PF1|×|PF2|

2|PF1|×|PF2|

=

24

|PF1|×|PF2|

-1≥

24

16

-1=

1

2

，…（13分）
则0＜∠F1PF2≤

π

3

；
由上述可得∠F₁PF₂的取值范围为[0，

π

3

]．…（14分）

点评：本题主要考查了利用椭圆的性质求解椭圆方程，余弦定理在求解三角形中的应用，其中（2）的求解具有一定的综合性